Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
C U R S O
I N T E N S I V O
Procesamiento y Modelado
de Campos Potenciales
Por
H.- J. Götze y S. Schmidt
Institut für Geologie, Geophysik und
Geoinformatik, Freie Universität Berlin
Centro de Investigación Especial
267 "Procesos de Deformación en los Andes"
Coordinación
C. Prezzi
Departamento de Geología
Noviembre 20 - 24, 2000
Copyright by Gravity Research Group at FU Berlin (Germany) and Departamento de Geología, Universidad de Buenos Aires, (Argentina), November 2000
>>>>>>>>> some housekeeping
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>>>>>>>>> Meta del CURSO
CRONOGRAMA
curso intensivo sobre "Procesamiento y
Modelado de Campos Potenciales"
Universidad de Concepción, Noviembre
20 - 24, 2000
por H.-J. Götze y S. Schmidt
Lunes, Noviembre 20
09:00 - 12:00 h
Introducción general.14:00 - 17:00 h
Introducción al curso, computación gráfica interactiva: una imagen dice más que mil palabras.
Digitalización de datos, formatos de datos geológicas y geofísicas: datos vectoriales y areales (raster data).
Sistema de información geográfica (SIG) y IOGIS (inter-operable geographic information systems).
Conceptos de Gravimetría: las anomalias de Bouguer, Aire libre y isostaticas,
gravedad teórica, geoide. Conceptos de Airy, Pratt, Vening-Meinesz, reología de la litósfera.
Ejercicios computacionales (aplicaciones de los técnicas de clases de la mañana):
Triangulación optima de puntos de datos y
mapeo de datos (ejemplos de los Andes Centrales con programas propias).
Martes, Noviembre
21
09:00 - 12:00 h
Operaciones de campo.14:00 - 17:00 h
Introducción, procesamiento computacional: p.e. técnicas de grillas, campos residuales,
filtros y diseño.
Deconvolución de Euler.
Aplicaciones de transformada rápida de Fourier (FFT): prolongación hacia abajo y arriba,
detección de borde (edge detection).
Modelación bi-dimensional.
Ejercicios computacionales (aplicaciones de los técnicas de clases de la mañana):
Procesamiento de datos (ejemplos de los Andes Centrales).
Modelación 2D de casos tectónicos simples.
Miercoles, Noviembre
22
09:00 - 17:00 h
Trabajo de campo (mediciones gravimétricas en un perfil, p.e. puente).
Gravímetros La Coste y Romberg, instrumentos de nivelación, GPS.
Meta:
observar una base de datos para un procesamiento y modelado en los días que siguen.
Jueves, Noviembre
23
09:00 - 12:00 h
Introducción a técnicas de modelado tri-dimensional: conceptos básicos de14:00 - 17:00 h
campos potenciales.
Ejemplos de una interpretación 3D de campos potenciales.
Procesamiento y modelado de los datos medidos.
Procesamiento y modelado de los datos medidos.
Introducción al IGMAS software (3D Interactive Gravity and Magnetic Application System):
estructuras de ingreso (data input), base de datos, geometría y propiedades físicas,
datos adicionales "constraining data".
Modelado del perfil medido.
Viernes, Noviembre
24
09:00 - 12:00 h
Ejercicios computacionales con el programa IGMAS y discusiones:14:00 - 17:00 h
Modelado tri-dimensional de una cuenca,
Estructura volcánica explosiva "Maar", ambos gravimetría y magnética).
Continuación de los ejercicios de la mañana.Vea tambien capítulo CONTENIDO
Discusión final de curso.
Algunas
palabras sobre nuestra universidad, el Departamento de Geología,
Geofísica y Geomatemática y nuestro grupo de trabajo en Berlin
(Alemania):
Si
se compara a nivel mundial la proporción del empleo de la exploración
gravimétrica con respecto a la sísmica, se podría
observar que los métodos de exploración gravimétricos
son empleados sólo en un
8 a 10% de los casos. Los principales
motivos de la pequeña difusión que tienen éstos, son
de naturaleza teórica, ya que la exploración terrestre por
medio de gravimetría es de las más económicas comparativamente.
Desde hace un par de años, es posible reconocer como consecuencia de la disminución de reservas de energía, el aumento del empleo de métodos de exploración "no-sísmica" (sobre todo en localidades, en las cuales la exploración sísmica es demasiado costosa, o no obtenga los resultados deseados). Debido a la necesidad de realizar "interpretaciones combinadas" con la mayor cantidad de datos geofísicos y geológicos que sean posibles obtener, ha cobrado cada vez más importancia la gravimetría con sus modernos procedimientos de procesado e interpretación de datos. La aplicación más destacada es ayudar a resolver problemas geodinámicos. Su posición en la geofísica se puede concluir del esquema de la Figura abajo.
Figura: Los métodos geofísicos - click para una magnificación
Las actividades geofísicas tanto como las gravimétricas se pueden dividir en tres áreas importantes :
Se puede observar un alto grado de relación
entre estas actividades geofísicas y la matemática aplicada
y también la geología. Se necesitan especialmente procesos
matemáticos durante el procesado y la interpretación de datos,
mientras que en el área de la interpretación es necesario
tener además buena información geológica.
Computación
gráfica: Una imágen dice más que mil palabras
INTERACTIVE COMPUTERGRAPHICS IS A FIELD, WHOSE TIME HAS COME .....
En el pasado, el campo de la computación gráfica estuvo reservado a unos pocos especialistas que, dependiendo de costosos sistemas de "hardware" y complicados medios de trabajo, debieron emplear en el desarrollo de procedimentos gráficos "software" especializado, muchas veces ajeno al propósito de ellos. Recién con el empleo más eficiente de innovadas posibilidades técnicas y la ampliación de las capacidades de memoria de trabajo de centros de cómputo, comenzó la proliferación del procesado gráfico de información. No obstante, en los inicios, las herramientas de la computación gráfica fueron incorporadas tan solo en forma paulatina al procesado de información de las disciplinas científicas y técnicas (Prince, 1971; Encarnaçao, 1971; Green, 1970).
En tanto en la actualidad percibimos en este campo un vertiginoso desarrollo y en algunos sectores de la investigación científica natural y técnica términos tales como VIDEOTEX-GRAPHIC, IMAGE-PROCESSING o SYNTHETIC PHOTOGRAPHS ya son parte fija del procesado de datos (por ejemplo procedimientos CAD y CAM).
También
en la geofísica se plantea en medida creciente el procesado gráfico
interactivo (Sattlegger, 1982; Jordan et al., 1979, Milson and Worthington,
1977, Götze and Lahmeyer, 1988). Grant (1972), en el marco de una
conferencia referida al panorama actual de ese momento, hace más
de 30 años reconoció que el desarrollo consecutivo de modernas
técnicas interpretativas en la gravimetría y magnetometría,
estaría vinculado sobre todo al desarrollo del procesamiento de
datos, y también aquí relacionado particularmente a lo que
concierna a los métodos gráficos interactivos.
Datos geológicos o geofísicos - informaciónes digitales
Tanto los datos geofísicos como las informaciones geológicas se puede caracterizar como quatro elementos basicos:
Elementos básicos
La triangulación definitivamente es el elemento más importante en la modelación:
Porque triángulos??? 
|
A famous algorithm (TRMESH) has been imlemented
and published by Renka in FORTRAN:
Renka,R.J: Triangulation and Interpolation
of arbitrarily distributed points in the plane. ACM Transactions on Mathematical
Software 10 (1984) 440-442.
Shewchuk published his implementation in
C (TRIANGLE), freely available by FTP:
Shewchuk, J.R., 1996: Triangle: Engineering
a 2D Quality Mesh Generator and Delauney Triangulator. 1st Workshop on
Applied Computational Geometry, Philadelphia (Pennsylvania). pp. 124-133.
http://www.cs.cmu.edu/~quake/triangle.html
In most cases necessary: Elimination of the convex hull by means of a limiting polygon
:
In many cases necessary: Modifiation
of triangulation by means of manual manipulation (definition of fixed connections)
Ejemplo por: http://www.geoconcept-systeme.de/geosurf/gs-triangulierung.htm
Sistemas de información geográfica (SIG) e IOGIS (inter-operable geoinformation system)
Modern
interpretation in geophysics requires an interdisciplinary knowledge, integration
and consideration of 'state of the art' information from comprehensive
data bases. Towards this end a combination of different geophysical surveys
employing seismics, gravity, and geoelectrics, together with geological,
mineralogical, petrological studies, and results from remote sensing provides
new insights into the structures and tectonic evolution of natural deposits
and the crustal underground. No doubt, the interdisciplinary approach is
essential for numerical modelling of these structures and the processes
acting on it. For example the interpretation of potential fields by 3D
modelling, requires data from other independent sources, due to the ambiguity
of these methods. In most of geophysical data interpretation, various geophysical
methods are used, yielding an increasing number of models - some of them
in 3D, most of them still in 2D, and some even in 1D. These modelling procedures
have in common that they are restricted by a single physical parameter
interpretation due to limited hard- and software facilities. Examples come
from 2D-raytracing models in seismics, either 2D or 3D density modelling,
4D- (timedependend) stress modelling, and 1D/2D magnetotelluric resistivity
modelling. The modelling spectrum should be extended by geology which provide
a variety of 3D and even 4D models. All these models consist of mostly
independently derived information, which must be evaluated to ensure the
highest quality of both data and knowledge base.
From
the geophysical modelling viepoint we deal with the following loop of knowledge
acquisition:
Para una demonstración del material
grande "viajamos" a los paginas siguientes:
http://userpage.fu-berlin.de/~sschmidt/Sabine_IGMAS.html
http://www.informatik.uni-bonn.de/III/index-en.html
http://wwwmath.uni-muenster.de/math/inst/info/u/oogdm/
.... y hay una publicación reciente:
Breunig, M., Cremers, A.B., Götze,
H.-J., Schmidt, S., Seidemann, R., Shumilov, S. & Siehl, A., 2000:
Geological Mapping based on 3D models using an Interoperable GIS. Geo-Information-Systems,
Journal for Spatial Information and Decision Making, ISSN 0935-1523, Vol.
13, p. 12 - 18.
.... hay tambien
algunas informaciones de papel (folletos de feria "GIS Leipzig")
Principios fundamentales de la gravimetría
Palabras claves: gravitación universal, geoide, gravedad teórica, distribución de densidad, anomalías globales, mareas terrestres.
Newton formuló su ley de la "gravitación universal" en el siglo XVIII y dice así:
Newton
Dos masas cualesquiera m1 y
m2
, entre cuyos centros existe una cierta distancia r, se atraen con una
fuerza F, directamente proporcional a sus masas e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia :
(1)
con
| f | = | 6.67 · 10-11 kg-1 m3 s-2 |
| = | 6.67 · 10-8 g-1 cm3 s-2 | |
| = | constante de gravitación | |
| r | = | distancia entre m2 y m1 |
De acuerdo a la física se puede
obtener la expresión para la aceleración
(2)
En geofísica se escribe g en lugar
de a y cuya fórmula para un cuerpo homogéneo (como la Tierra
ideal) es:
(3)
con
| f | = | constante de gravitación |
| V | = | volumen de la tierra |
| dV | = | volumen infinitesimal |
 |
= | densidad homogénea: =
const. |
Según la ecuación (3) g es
un vector, que tiene tres componentes (en un sistema de coordenadas x,
y, z) :
Si usamos un gravímetro, medimos
solamente la componente vertical.
sistemas
de coordenadas
Introducimos teóricamente una función U (potencial de atracción) y convenimos que,
gravedad
se pueden obtener tres ecuaciones escalares
para determinar g.
Debido a la rotación de la Tierra tenemos que introducir un término para describir el efecto del movimiento de rotación:
W
= U + Z
(4)
U = potencial
de la atracción
Z = potencial
del movimiento rotacional
Según (4) es posible obtener una ecuación para la aceleración escalar de la Tierra:
(5)
con
| R | = | 6371 km (radio promedio) |
|
|
= | const. (densidad) |
 |
= | aceleración centrípeta |
 |
= | latitud de observación |
Las superficies que estén formadas por puntos con el mismo valor potencial W, se les llama "superficies equipotenciales" o "superficies de nivel":
W(x, y, z) = const.
y especialmente definimos :
W(x0, y0, z0)
= const. ( G E
O I D E). 
Geoide
Es posible imaginarse aproximadamente,
que el geoide está marcado por la superficie del mar. Si quisiéramos
representar la superficie de la Tierra con una ecuación uniforme,
el geoide seria demasiado ondulado. Por ésto, la siguiente aproximación
es un ELIPSOIDE DE REFERENCIA de la Tierra. Las diferencias entre el geoide
y la superficie del elipsoide se llaman ONDULACIONES del geoide. La máxima
desviación es de unos 90 metros.
niveles
de referencia
Calculando anomalías de gravedad en un sistema mundial único, tenemos que usar la "gravedad teórica", o sea el efecto del potencial del elipsoide de nivel en su superficie. Lo cual depende de la latitud , que de acuerdo al "sistema geodésico de referencia de 1980" se obtiene:
 Ecua |
= | gravedad de ecuador: 978,03185 mGal |
| a | = | 0.0053024 |
|
b |
= | 5.8 10-6 |
|
= | latitud de observación |
gravedad
teorica
La fórmula de una anomalía
gravimétrica es la siguiente:
El único parámetro que se puede definir es la estimación de la profundidad máxima.
Con frecuencia se encuentran datos de anomalías
obtenidas en sistemas más antiguos, por ejemplo en el sistema 1930,
1967 o 1971. A modo de ejemplo se usa la siguiente relación para
transformar los valores entre 1967 y 1930:
()1967
=()1930
-
17.15 + 13.6 sin2(mGal)
(8)
Desde 1971 debemos usar SI-unidades para calcular las magnitudes gravimétricas :
1 mGal = 10-3 Gal = 10-5
m/s2
1 mGal/m = 10-5 s-2
1 u.g. = 0.1 mGal (unidades gravimétricas)
En relación a la interpretación de mediciones gravimétricas existe un problema muy serio :
EL PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA
Según la teoría del potencial
siempre existen una cantidad infinita de masas, que causan el mismo campo
de gravedad en un punto superficial (vea Figura a la derecha).
La distribución de la densidad de la Tierra y las anomalías globales de la gravedad
La relación que existe entre gravedad - densidad - velocidad sísmica - presión - temperatura y profundidad de la Tierra no es simple. A pesar de eso, es posible determinar la densidad:
(9)
con
 |
= | módulo cizalle |
| C | = | módulo de compresión |
| Vs, Vp | = | velocidades sísmicas |
Según
Brown y Musset (1981) se puede obtener la distribución de densidad
de la Tierra como sigue:
El conocimiento de esta distribución,
es obtenido a partir de velocidades sísmicas de acuerdo a un análisis
bastante complicado.
densidad
en la tierra
Reducción de datos y anomalías gravimétricas
La gravedad medida en la superficie de
la Tierra generalmente no sirve para hacer interpretaciones con respecto
a las estructuras geológicas, porque varios efectos diferentes se
superponen y encubren las anomalías buscadas. La separación
y eliminación de estos efectos indeseables de la gravedad medida
siempre es el primer paso de la gravimetría aplicada después
de las mediciones. Este proceso es llamado reducción.
La reducción de la gravedad teórica
Esta reducción calcula el valor normal de la fuerza de gravedad de la Tierra, aproximada por un elipsoide. Métodos de cálculo:
a) Fórmula de la gravedad teórica,
b) Tablas de la gravedad teórica
(interpolación lineal!)
c) Para investigaciones especiales (áreas
de extensión pequeña) puede limitarse a calcular la diferencia
de la gravedad teórica con respecto a un punto de referencia usando
el gradiente horizontal de la gravedad teórica:
(10)
en mGal, si 
está en metros, donde
|
= | Latitud del punto de referencia |
| x |
= | Distancia Norte-Sur entre la estación y el punto de referencia |
La reducción de Aire Libre
La gravedad teórica se calcula con respecto al nivel de referencia y no al nivel de la estación. Por esto tenemos que añadir el efecto de las diferentes alturas de las estaciones, calculando la reducción de Aire Libre:
(11)
en mGal, si h
está en metros, donde
| GV | = | Gradiente vertical de la gravedad teórica (aprox. -03085 mGal / m) |
| h |
= | Distancia entre el nivel de la estación y el nivel de referencia |
La reducción de Bouguer
El objetivo de esta reducción es
la eliminación del efecto gravimétrico de las masas entre
el nivel de la estación y el nivel de referencia. Para aproximar
estas masas se usa generalmente el modelo simple de una placa plana e infinita
con una densidad constante ():
(12)
con f = 6.67 ·
10-11 kg-1 m3 s-2 (constante
gravitacional):
en mGal, si h
en metros y en
10-3 kg / m3 donde
| h |
= | Diferencia entre el nivel de la estación y el nivel de referencia |
|
|
= | densidad de las masas |
| Nota:
Para calcular esta reducción tenemos que conocer la densidad de las rocas subyacentes! |
La reducción topográfica
Aproximando las masas subyacentes mediante la placa de Bouguer (arriba) desatendimos el relieve de la superficie de la Tierra, que generalmente no es una superficie plana. Con la reducción topográfica eliminamos el efecto del relieve irregular.
Principio:
| Importante:
Tanto las depresiones (valles) como las elevaciones (cerros) en los alrededores de la estación disminuyen la gravedad medida. Por esto la reducción topográfica siempre es positiva! (Ejercício!) |
Figura: Aproximación de la topografía.
Modelo topográfico construido por prismas o polihédros, resp.
Modelado por prismas: DEM, digital elevation
models.
http://edcdaac.usgs.gov/gtopo30/gtopo30.html
Topo-shaded,
S Chile
Modelado por polihédros: TIN, triangulated
irregular network.
TIN
& DEN
Métodos para la construcción de un modelo topográfico
(1) División del terreno en círculos
con ciertos radios y 8 rayos, con la estación en el centro (vea
Figura abajo). En cada uno de los sectores se determina la altura media
mediante las curvas de nivel de un mapa topográfico, se calcula
la diferencia de la altura media y la altura de la estación, y se
calcula la gravedad del sector p.ej. según la fórmula:
(13)
| f | = | 6.67 · 10-11 kg-1 m3 s-2 (constante gravitacional) |
| h |
= | Distancia entre el nivel de la estación y el nivel de referencia |
| hi | = | diferencia de la altura media del sector y la altura de la estación |
| ri / ri+1 | = | radios, que limitan el sector de cálculo |
Hay que sumar los efectos según
(13) de todos los sectores. Con los radios de la figura abajo son 8 x 16
= 126 valores de reducción para cada estación!
Figura: Plantilla para la reducción
topográfica.
(2) Mucho más fácil - y además mucho más preciso - es el cálculo de la reducción topográfica con computadora: Se digitaliza el relieve en forma de una rejilla ortogonal (vea Figura abajo), se calcula la gravedad de cada uno de las prismas, y se suman todos los efectos de los prismas. Usando este método, no se tiene que determinar las alturas medias de nuevo para cada estación.
La fórmula para calcular la gravedad
exacta de un prisma no es simple, pero hay una fórmula que aproxima
el efecto gravimétrico de un prisma (p. ej. en Figura abajo):
(14)
donde
| f | = | 6.67 · 10-11 kg-1 m3 s-2 (constante gravitacional) |
| h | = | Diferencia de altura entre el prisma y la altura de la estación |
|
= | Densidad de las masas topográficas |
| b, r | = | vea figura abajo. |
Rejilla ortogonal para la reducción topográfica.
Los valores de la reducción topográfica
dependen mucho del relieve especial en los alrededores de la estación.
Cuanto más irregular es el relieve, tanto más grande son
los valores de la reducción. Unos ejemplos de la región de
los Andes:
| La costa chilena
Cordillera oriental |
10 - 20 mGal |
| Cordillera de la costa
Precordillera Cordillera alta |
1 - 10 mGal |
| Puna / Altiplano |
0.5 - 1 mGal |
| Llanuras (Chaco) | 0.0 mGal |
Ejercício: Corrección topográfica
Anomalía de Aire Libre (AAL) y Anomalía de Bouguer (AB)
Dependiendo de las reducciones calculadas se definen distintos tipos de anomalías:
(15) (16)
En una vista de color (AB and reducciones):
Conceptos
AB
Calculando la Anomalía de Aire Libre (AAL) no se elimina el efecto de masas y por esto esta anomalía se usa más como base de investigaciones geodésicas. Generalmente no se puede interpretar la AAL geológicamente, pero se puede aprovechar su correlación tan fuerte con la topografía para determinar la densidad de las masas topográficas.
Calculando la Anomalía de Bouguer
(AB) sustraemos el efecto de todas las masas subyacentes, y por
esto la AB solamente refleja el efecto de la distribución
irregular de densidades en el subsuelo (vea Figura abajo). Esta anomalía
generalmente es la base de las investigaciones de la gravimetría
aplicada!
Figura: Diferencia entre la AAL y la
AB. Gris claro: Masas eliminadas por las reducciones. Gris oscuro: Masas
no eliminadas - sus efectos son representados por las anomalieas.
FA-altura
Con una reducción adicional, la
reducción de compensación gComp, se calcula
la anomalía isostática :
(17)
La
AI caracteriza el estado de
extensos complejos de masas con respecto a un equilibrio de flotación
entre la corteza de la tierra y el manto (vea Fig. abajo).
Figura: Modelo simple de la sumersión
de un complejo cortical (con menor densidad: gris claro) en el manto terrestre
(con mayor densidad: gris oscuro) y su efecto en la Anomalía Isostática.
Que son las diferencia y similitud entre
BA - altura - ISA
Un ejemplo de Canada, de los Alpes y los
Andes:
combinación
BA - ISA - altura
Algunos exemplos para anomalias isostáticas:
(1) Altiplano Boliviano
(2) Traversa 20 deg. S - 30 deg. S :
Se puede encontrar mas informaciones en el capítulo "CASOS HISTORICOS"
En la mayoría de las regiones de la tierra observamos solamente anomalías isostáticas muy pequeñas, es decir en estas regiones las masas de la litósfera están aproximadamente en un equilibrio isostático.
Areas con anomalías isostáticas muy fuertes indican regiones, en las cuales actuan fuerzas geodinámicas recientes, que evitan una compensación gravitacional de las masas (procesos de sumersión en áreas de anomalías positivas y de elevación en áreas de anomalías negativas).
Unas regiones típicas de equilibrio perturbado:
Para el cálculo de la reducción
de compensación hay "modelos isostáticos", p.ej. los modelos
de Pratt, Airy, Vening-Meinesz y Froideveaux.
Ejercício Isostasía
Rigidity and Isostasy of the Central Andes (20 deg. S to 30 deg. S)
The gravity field of the southern Central Andes and their eastern foreland between 20° to 30° S was investigated with regard to the isostatic state, the crustal density structure of the orogeny and the rigidity of the lithosphere. Gravity data-base and constraining information for the 3D density model came from recent geophysical field data acquisition in the Central Andes and covers both the area of northern steep subduction zone and the flat slab area in the South.
ANCORP
model
Table:
rocks
density
mod. Sobolev
All gravity data were tied to the IGSN -71 gravity datum and are terrain-corrected as well. Analysis of Andean topography bases on the 1 km x 1 km mean elevation data grid of the USGS and own sources. The gravity effect of the down going Nazca Plate was removed from both Bouguer and isostatic residual anomalies (Airy and Vening-Meinesz type) and then correlated with mean topographic heights to identify areas of disturbed isostatic equilibrium. Additionally the balance of topographic surplus and deficit masses of the Andean root was estimated by applying Gauß´ theorem to the residual gravity field. Most of the morphological Andean units are close to an isostatic equilibrium. Differences were obtained in the Argentine Puna, the SE foreland and along a large NW to SE striking zone crossing the volcanic arc. This structure can be linked to high density crustal remnants of Mesozoic rifting.
A novel methodology (Lowry and Smith, 1995) for 2D modeling of lithospheric rigidity which can account for surface and subsurface loads were applied to both topography and gravity field.
filter
effect
coherency
concept
coherency
real world
load
Rather low values (1022 to 1023 Nm; 15 km effective elastic thickness) were obtained for the area of the Altiplano and 1023 to 5x1023 Nm were observed for the back arc region which corresponds with an effective elastic thickness of 35 to 45 km.
volcanoe
and eff. elastic thickness
